ریاضیات

وبلاگ گروه ریاضی ناحیه 2 ارومیه

مساله ای که "فون نویمان" را فریب نداد
ساعت ٥:۳٩ ‎ق.ظ روز یکشنبه ٢۳ آبان ۱۳۸٩   کلمات کلیدی:

دو دوست با هم قرار گذاشتند که سوار دوچرخه‌‌هایشان با حداکثر سرعت که می‌توانند به سمت یکدیگر رکاب بزنند و بعد از طی فاصله ی میانشان که برابر ‌L است با یکدیگر برخورد کنند.
وقتی دو دوست حرکت خود را آغاز می‌کنند، سگ آن‌ها که دوست‌دار هر دو است، با حداکثر سرعتی که می‌تواند از نزد دوچرخه‌سوار اول شروع به دویدن می‌کند تا به دوچرخه‌سوار دیگر برسد و مجدداً بلافاصله تغییر مسیر می‌دهد و نزد دوچرخه‌سوار اول برمی‌گردد و این کار را آن قدر تکرار می‌کند تا دو دوچرخه‌سوار با هم برخورد ‌کنند. به نظر شما این سگ چه مسافتی را دویده است؟

بقیه را در ادامه ی مطلب ببینید


ریشه‌های تاریخی این مسأله برمی‌گردد به بحثی که بیش از 50 سال پیش، بین دو ریاضی‌دان مشهور به نام های استانیسلاو اولام و جان فون نویمان درگرفت و به «مسأله‌ای که جان فون نویمان را فریفت» مشهور شد،چرا که اولام تصور کرد که ایده ی حل این مساله به وسیله ی سری که توسط فون نویمان ارائه شد بسیار پیچیده است و فون نویمان متوجه حقه ی حل مساله نشده است. 
فرض کنید که دو دوچرخه سوار با سرعت یکسان V حرکت کنند و هم‌چنین تندی سگ را U در نظر بگیریم و در ضمن فرض کنید که سگ می‌تواند در یک آن، جهت حرکت خود را تغییر دهد.
اجازه دهید قبل از هر بحثی منظورمان از تندی را روشن‌تر بیان کنیم. در این جا ما از تندی حرکت سگ صحبت می‌کنیم نه از سرعت آن، تندی حرکت سگ ثابت است اما هر بار که با یکی از دوچرخه‌سواران برخورد می‌کند تغییر مسیر می‌دهد، سرعت او تغییر می‌کند، سرعت کمیتی برداری است که هم تندی حرکت و هم جهت حرکت را نشان می‌دهد. پس همیشه به تفاوت موجود بین تندی و سرعت توجه داشته باشید!
بررسی مسیر رفت و برگشت سگ به یک سری نامتناهی منتهی می‌شود. امّا اجازه دهید نگاهی به ابتدا و انتهای وضعیت بیندازیم.
چه مدت طول خواهد کشید تا دوچرخه‌سواران با یکدیگر برخورد کنند؟ زمان موردنظر به این قرار  است: .

از آن جا که سگ با تندی ثابتU می‌دود،‌فاصله‌ای که سگ طی می‌کند، چنین می‌شود: .
خب حالا بیایید استدلال نویمان را در خصوص حرکت این سگ ببینیم، که درحقیقت به یک سری نامتناهی منتهی می‌شود:
نمودار زیر را که فاصله‌ی میان دوچرخه‌سواران و مسافت طی شده توسط سگ را بر حسب زمان نشان می‌دهد ، ملاحظه کنید:

 




مثلث های  و ... همه مثلث‌هایی متشابه هستند. نسبت تشابه این مثلث ها را q می‌نامیم. هنگامی که دوچرخه‌سواران به فاصله‌ی L از هم قرار دارند، سگ به زمان  جهت رسیدن از دوچرخه سوار اول (A) به دوچرخه سوار دوم ( ) نیاز دارد[چرا؟] و مسافت  را در این زمان می دود . طی این زمان دوچرخه‌سواران به یکدیگر نزدیک‌تر شده‌اند که این میزان برابر با  است. بنابراین فاصله ی جدید میان آن‌ها چنین خواهد بود: ، از این رو،نسبت تشابه برابر است با: .

در نتیجه، طول مسافت دویدن بار دوم سگ(از به ) ، برابر با خواهد بود. [چرا؟] . ما می‌بایست این وضعیت را دوباره و دوباره تکرار کنیم. در واقع ما سری نامتناهی برای کل مسافت طی شده توسط سگ را داریم:


مسافت طی شده


از طرفی : .

پس فاصله‌ی طی شده توسط سگ برابر با است که دقیقاً همان چیزی است که با نگاهی کوتاه به ابتدا و انتهای مسیر در بالا به‌دست آمد.
پس در حقیقت،فون نویمان فریب نخورده بود.


منبع :
100 مساله ومعمای جالب فیزیک و ریاضی

 ترجمه ی: بهداد بسیجی